อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ทบทวน

           ประโยคภาษา เป็นประโยคที่ประกอบด้วยตัวอักษร ที่กล่าวถึงสิ่งใดสิ่งหนึ่งในเชิงบรรยาย

เพื่อให้ทราบข้อเท็จจริงของสิ่งนั้น

           ประโยคสัญลักษณ์ เป็นประโยคที่ประกอบด้วยตัวเลข ที่เขียนแทนประโยคภาษา เพื่อความ

สะดวกในการคำนวณ (ข้อสำคัญ คือ ประโยคสัญลักษณ์จะมีตัวแปรหรือไม่มีก็ได้)

ให้นักเรียนพิจารณาประโยคภาษาและประโยคสัญลักษณ์แต่ละคู่ต่อไปนี้

                ในทางคณิตศาสตร์เราเขียนประโยคสัญลักษณ์แทนประโยคภาษาเพื่อความสะดวกในการคิดคำนวณ

               ให้นักเรียนยกตัวอย่างประโยคภาษาและ เขียนแทนด้วย ประโยคสัญลักษณ์ มาอย่างละ 3

ประโยค

นอกจากนี้นักเรียนยังเคยรู้จักกับสัญลักษณ์ต่อไปนี้

< แทนความสัมพันธ์ น้อยกว่า หรือไม่ถึง

> แทนความสัมพันธ์ มากกว่า หรือเกิน

และ ≠ แทนความสัมพันธ์ ไม่เท่ากับ หรือไม่เท่ากัน

นอกจากสัญลักษณ์ดังกล่าวแล้ว เรายังใช้สัญลักษณ์

≤ แทนความสัมพันธ์ น้อยกว่าหรือเท่ากับ

≥ แทนความสัมพันธ์ มากกว่าหรือเท่ากับ

                                    เช่น

x ≤ 2 อ่านว่า x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2

หมายถึง x < 2 หรือ x = 2

อีกนัยหนึ่งคือ x ไม่เกิน 2

a ≥ -3 อ่านว่า a มากกว่าหรือเท่ากับ -3

หมายถึง x > -3 หรือ x = -3

อีกนัยหนึ่งคือ x ไม่น้อยกว่า -3

กิจกรรมที่ 1: ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมายและการนาเสนอ

                               1. ให้นักเรียนเขียนประโยคเกี่ยวกับจำนวนต่อไปนี้เป็น ประโยคสัญลักษณ์ เมื่อให้ x แทนจำนวน

จำนวนหนึ่ง

2. ให้นักเรียนเปลี่ยนประโยคต่อไปนี้ให้เป็นประโยคภาษา โดยให้ตัวแปรแทนจำนวนจำนวนหนึ่ง

จากกิจกรรมที่ 5.1 นักเรียนก็ได้ศึกษาแล้วพบว่า ในแต่ละอสมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มีตัว

แปรก็ได้ ถ้าอสมการมีตัวแปร ตัวแปรนั้นจะแทนจำนวน ในกรณีที่ไม่ได้ระบุเงื่อนไขของตัวแปร ให้ถือว่าตัวแปรนั้นแทนจำนวนจริงใด ๆนอกจากนี้ยังสามารถสรุปได้ดังนี้

                 อสมการซึ่งพหุนามในอสมการเป็นพหุนามที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและดีกรีพหุนามเท่ากับ 1   เรียกว่า อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ตัวอย่างของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เช่น

1) 2x < 6

2) 3a + 2 > 7

3)  ≤ 9

4) 1.2m – 5 ≠ 7

5) 5x ≥ 4x + 9

อสมการที่มีตัวแปรอาจเป็นจริงหรือไม่จริงขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร เช่น

อสมการ 2x < 6 เป็นจริง เมื่อแทน x ด้วย 2 นั่นคือ

อสมการที่มีตัวแปรอาจเป็นจริงหรือไม่จริงขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร เช่น

อสมการ 2x < 6 เป็นจริง เมื่อแทน x ด้วย 2 นั่นคือ

2(2) < 6

4 < 6 เป็นจริง

อสมการ 2x < 6 ไม่เป็นจริง เมื่อแทน x ด้วย 4 นั่นคือ

2(4) < 6

8 < 6 ไม่เป็นจริง

เรียกจำนวนที่แทน x ในอสมการ 2x < 6 แล้วทำให้ 2x < 6 เป็นจริงว่า คาตอบของอสมการ2x < 6

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อาจมีคำตอบได้หลายลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของอสมการ x ≥ 5

วิธีทา หาจำนวนแทนใน x ถ้าแทนค่า x = 7 ในอสมการจะได้

7 ≥ 5

ซึ่งทำให้อสมการเป็นจริง ดังนั้น 7 จึงเป็นคำตอบหนึ่งของอสมการ

ทดลองแทนค่า x ด้วยจำนวนอื่น ๆ อีกจะพบว่ามีจำนวนอีกหลายจำนวนที่ทำให้อสมการ x ≥ 5 เป็นจริง เช่น………………………………………………………

ดังนั้น คำตอบของอสมการ x ≥ 5 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 5

ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 5

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของอสมการ a ≠ 10

วิธีทา หาจำนวนแทนใน a ถ้าแทนค่า a = 5 ในอสมการจะได้

5 ≠ 10

ซึ่งทำให้อสมการเป็นจริง ดังนั้น 5 จึงเป็นคำตอบหนึ่งของอสมการ

ทดลองแทนค่า a ด้วยจำนวนอื่น ๆ อีกจะพบว่ามีจำนวนอีกหลายจำนวนที่ทำให้อสมการ a ≠ 10 เป็นจริง เช่น………………………………………………………

ดังนั้น คำตอบของอสมการ a ≠ 10 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 10

ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 10

ตัวอย่างที่ 3 จงหาคำตอบของอสมการ x < x + 1

วิธีทา หาจำนวนแทนใน x ถ้าแทนค่า x = 3 ในอสมการจะได้

3 < 3 + 1

3 < 4

ซึ่งทำให้อสมการเป็นจริง ดังนั้น 3 จึงเป็นคำตอบหนึ่งของอสมการ

ทดลองแทนค่า x ด้วยจำนวนอื่น ๆ อีกจะพบว่ามีจำนวนอีกหลายจำนวนที่ทำให้อสมการ x < x + 1 เป็นจริง เช่น……………………………………………………

ดังนั้น คำตอบของอสมการ x < x + 1 คือ จำนวนจริงทุกจำนวน

ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวน

ตัวอย่างที่ 4 จงหาคำตอบของอสมการ m – 3 > m

วิธีทา เนื่องจากไม่มีจำนวนใดแทน m ใน m – 3 > m แล้วทำให้อสมการเป็นจริง

ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของอสมการ m – 3 > m

ตอบ ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นว่าคำตอบของอสมการมี 3 แบบ ดังนี้

1. อสมการที่มีจำนวนจริงบางจำนวนเป็นคำตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 1 และตัวอย่างที่ 2

2. อสมการที่มีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 3

3. อสมการที่ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 4

คำตอบของอสมการ อาจเขียนแสดงคำตอบโดยใช้กราฟบนเส้นจำนวนได้ ซึ่งสัญลักษณ์ที่ใช้แสดงคำตอบของกราฟจะใช้ดังนี้ คือ

จุด(จุดทึบ) หมายความว่า ตัวเลข ณ จุดนั้น คือคำตอบของอสมการนั้น

จุด(จุดโปร่ง) หมายความว่า ตัวเลข ณ จุดนั้น ไม่ใช่คำตอบของอสมการ

(ลูกศร)หมายความว่า ถ้าชี้ไปทางขวามือจะแสดงจำนวนที่มีค่ามากขึ้น ถ้าชี้ไปทางซ้ายมือจะแสดงจำนวนที่มีค่าน้อยลง

ตัวอย่างการเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 5 กราฟแสดงคำตอบของอสมการ x < 5 เป็นดังนี้

ตัวอย่างที่ 6 กราฟแสดงคำตอบของอสมการ x ≥ -2 เป็นดังนี้

กิจกรรมที่ 2 : ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมายและการนาเสนอ

1. ให้นักเรียนเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้

2. กราฟแสดงคำตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ แสดงจำนวนใดบ้าง

ที่มาจากhttp://goo.gl/UiM9Cn